Annette Lessmöllmannová

Sto rokov Russellovho paradoxu

Smie holič, ktorý holí všetkých, čo sa sami neholia, holiť aj sám seba?

V prvých mesiacoch 20. storočia sa nachádzal Bertrand Russell v intelektuálnej extáze: Ako posadnutý sedel vtedy 28-ročný nad svojimi Princípmi matematiky, hľadajúc logické podloženie matematiky. V lete 1901 však narazil na paradox, ktorý otriasol fundamenty jeho teórie a celému odboru mal pripraviť bolesti hlavy. Duch mu z toho ochrnul a upadol do depresie; bolo po eufórii.

Nebol prvý, čo sa s tým stretol. Od starých Grékov si nad tým filozofi a logici pri poháriku vína radi lámali hlavy – ale nepripisovali tomu nijaký význam. Russell prvý spoznal, čo to znamená pre matematiku, hoci v Cambridge študoval túto vedu v dosť zastaralej podobe.

V najpopulárnejšej forme sa Russellov paradox podáva ako historka toho nešťastného holiča, ktorý dostane od starostu za úlohu oholiť všetkých mužov, ktorí sa sami neholia – ale nikoho viac. Bez problému, povie si náš majster a pustí sa do roboty, lebo sa to ukazuje byť dobrý zárobok. Po skončení práce sa ho však starosta pýta:

 „A kto holil teba?“

„Nuž, ja sám“, a to je odpoveď, ktorá ho pripravila o mzdu.

 Lebo podľa dohody mal holiť len tých, čo sa neholia sami.

„Tak sa teda nebudem holiť a je to!“

pomyslel si náš figaro a pustil sa do druhého pokusu dobre si zarobiť. Dážď dukátov sa však nedostavil ani teraz: Pretože teraz patrí k tým, čo sa sami neholia, mal ho holiť holič – on sám. Bol v tŕní.

Vo svojej všeobecnej forme zamestnáva tento problém odborníkov dodnes. Vzdychá Nicolas Griffin, riaditeľ Russellovho výskum-ného centra na McMasterovej univerzite v Ontariu v Kanade: „Aké by to len bolo krásne, keby ten Russellov paradox neexistoval!“ – ale čo sa raz vymyslelo, nedá sa tak ľahko vyhnať zo sveta.

Logik B. Russell nemyslel pravda na holičov, ale na abstraktné útvary matematických množín, vynájdené nemeckým matematikom Georgom Cantorom, ktoré sa zdali ako stvorené pre logický fundament matematiky: Čo je číslo? Prečo niet najväčšieho čísla? Čo je nekonečno?

Pred sto rokmi hľadal Russell definíciu tzv. normálnej množiny: množiny všetkých množín, ktoré neobsahujú samy seba. Ťažkosť tu spočíva v odpovedi na otázku, či táto množina obsahuje sama seba; lebo odpoveď je Áno aj Nie. Vlastne by sa mala obsahovať. No len čo obsahuje sama seba, nespĺňa svoju vlastnú podmienku – náš holič nechá pozdravovať. Russell stál pred neriešiteľným protirečením. Nicolas Griffin nazýva pokus postaviť logiku na matematike „brilantným zlyhaním“.

Prečo nehodili matematici učenie o množinách, keď je takto od koreňa choré, jednoducho cez palubu? Lebo sa už nedá obísť, koleso poznania sa nedá krútiť dozadu. Pokračuje sa v pokusoch o tupenie paradoxu. Russell vypracoval tzv. teóriu typov, ktorá pripúšťa existenciu rozličných typov množín: množina nesmie obsahovať prvok, ktorý je rovnakého typu ako nadradená množina – tak vylúčil množiny, ktoré obsahujú samy seba. No nikdy nebol s týmto riešením spokojný.

Aj po sto rokoch je holič v učebniciach a pozýva študentov na mozgovú akrobatiku. Vedci sa delia na takých, čo na paradox zabudli a venujú sa iným veciam, a takých, čo ďalej hľadajú formálne riešenie problému. Povedal staršina matematickej logiky, Solomon Feferman zo Stanfordu:

„Nemá zmysel veci ignorovať. Môžeme hovoriť o množine nekonečných množín a musíme si položiť otázku, či je táto množina nekonečná.“

Russell sa pomerne rýchlo pozviechal zo šoku roku 1901 a s čerstvým entuziazmom sa vrátil k matematike, logike a filozofii, kde všade zanechal stopy poctivej práce. Práve holičov paradox usviedča Russella ako moderného vedca:

 Nič nie je isté, ak sa pozrieme zblízka; ale aj tak pokračujeme.

Prameň: Annette Lessmöllmannová, Brillantes Versagen, Die Zeit, č. 26, s. 29, 2001.